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下三角矩阵的逆也是下三角

设下三角矩阵A=(aij)n*n,其逆矩阵B=(bij)n*n,则有A*B=E,即为 因为a11*b11=1;所以a11不等于0; 又因为a11*b12=0;a11*b13=0;;a11*b1n=0;所以b12=b13=.=b1n=0; 依次类推,可得b23=b24=..=b2n=0;b34=b35=b36=.b3n=0;;b(n-1)n=0.所以B为下三角矩阵.所以命题得证.不好意思,因为有些数学符号不好打,所以只是大概写了一下,不知道能看懂吗?

把A分块成a11 0A21 A22A^{-1}分块成b11 B12B21 B22成出来对比一下得到B12=0,对A22用归纳法

设A是一个三角矩阵,则AA^T=B,由三角阵的定义得,B是一个对称可逆矩阵,所以B=B^T,有(B^-1)^T=(B^T)^-1=B^-1得到B^-1也是对称阵,所以(AA^T)^-1=B^-1=(A^T)^-1A^-1=(A^-1)^TA^-1即至少存在一个三角阵A^-1有(A^-1)^TA^-1

1、初等变换法 求元索为具体数字的矩阵的逆矩阵,常用初等变换法'如果A可逆,则A'可通过初等变换,化为单位矩阵 I 用A的逆右乘上式两端,得:可以看到当A通过初等变换化为单位处阵的同时,对单位矩阵I作同样的初等变换,就化为A的

Q2:r1 0 00 r2 00 0 r3 ----主对角 的逆:主对角元素取倒数,原位置不变副对角:0 0 r10 r2 0r3 0 0的逆:0 0 1/r30 1/r2 01/r1 0 0Q1上三和下三都需要分块以后有规律:A C0 B的逆:A^-1 -A^-1CB^-10 B^-1A 0C B的逆:A^-1 0-B^-1CA^-1 B^-1

结论是对的.给你两种证法.方法1.若t是上三角矩阵,求解线性方程组ts=i,从右下角开始向前求解,可以按分块形式来写 s(n,n)=1/t(n,n) s(n,1:n-1)=0 s(1:n-1,n)=-t(1:n-1,1:n-1)^{-1}t(1:n-1,n)s(n,n) 这块不重要 s(1:n-1,1:n-1)=t(1:n-1,1:n-1)^{-1} 这个地方用归纳法 归纳一下即可.方法2.利用st=ts=i,忽略等于i的条件,直接可以证明和t可交换的矩阵必定是上三角阵.利用线性性只需要考察i>j时t和e_{i,j}(表示i行j列为1,其余位置为0的矩阵)不可交换.

用初等行变换,右侧放一个纪录行变换过程的单位矩阵.可以用a11把第一列其余元素化为0,同样可以用aij把第j列第i+1行到第n行元素化为零.相应右侧纪录行变换过程的原单位矩阵即为单位下三角矩阵.

要求A的逆,只要解方程AX=I就行了直接把AX=I展开出来看一下就知道如果A是上三角阵那么X必定也是上三角阵(简单一点可以用归纳法)

1.用初等行变换 (这个常用)2.用矩阵分块 (左下角是特殊子块时好用)3.用伴随矩阵 (这个麻烦)

一个如下形状的矩阵: 被称为下三角矩阵; 同样的,一个如下形状的矩阵: 被称为上三角矩阵. 上(下)三角矩阵乘以系数后也是上(下)三角矩阵;上(下)三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上(下)三角矩阵;上(下)三角矩阵的逆也仍然是上(下)三角矩阵.这些事实说明:所有上(下)三角矩阵的集合以及相应的运算构成一个方形矩阵集合的一个子代数.然而要注意的是上三角矩阵与下三角矩阵的乘积一般并不是三角矩阵.

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