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幂级数逐项求导问题

就是幂级数的和函数的积分,就等于它的展开式,也就是该幂级数的各项(无穷多项)的积分之和;幂级数的和函数的导数,就等于它的展开式,也就是该幂级数的各项(无穷多项)的导数之和;以有穷多项为例,来说明:若f(x)=x^2+3x则f'(x)=(x^2)'+(3x)',只不过幂级数的逐项是无穷多项而已.积分类似.

看系数的,例如系数是分式类似(1/n)求和Σ(1/n)x^n这时求导就把1/n消去了,等于只需求Σx^(n-1),然后积个分就可以了如果系数是n的多项式Σ(n+1)x^n这时就积分,把n+1消去就等于先积Σx^(n+1),得出结果再求导即可原因是Σx^n是等比数列求和,好求如果不是正好的话还需要乘上x的幂次例如Σnx^n直接积分不好弄,那么先令Tn=Σnx^n则令Sn=Tn/x=Σnx^(n-1)然后就可以积分,求和,再求导得到Sn,最后乘上x得到Tn

①∑(n从1到正无穷)(-1)^(n-1) * (2x)^(2n-1) / (2n-1)=∑(n从1到正无穷)(-1)^(n-1) ∫(2x)^(2n-2) dx(积分区间为0到x,下同)=∑(n从1到正无穷)(-1)^(n-1)∫(4x)^(n-1)dx=

1,不一定,比如 x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+x^5/5+.在x=-1处是收敛的,但是 逐项求导后,1+x+x^2+x^3+.在x=-1处是发散的 .2.逐项积分后在端点是收敛的.因为 如果a0+a1x+a2x^2+收敛的话,它的积分 为a0x+a1/2*x^2+a2/3*x^3+.

当x在级数的收敛域内,n趋于无穷大时,幂级数会收敛于某一函数,它是部分和函数(含指数n)的极限函数,所以是不含指数n的.求和函数的方法很多,比如1、逐项求导;2、逐项求积;3、拆项、补项等等.

这涉及到一个叫Abel定理的结论:只要你确认了幂级数在端点收敛,则和函数的表达式在端点也成立.因此这种题都是要先求出幂级数的收敛区域.比如上面你说的,收敛区域是【--a,a】,然后在(--a,a)上求出了表达式,那么求出的表达式在【--a,a】上就是成立的.

从级数本身看出来的.级数 ∑x 的收敛域是 -1 ∑x/n 的收敛域是 -1≤x

在x∈(-3,3)上,对幂级数∞n=1anxn&nbfn;逐项求导可得:∞n=1nanxn1,其收敛半径与原幂级数2收敛半径相等,仍然为3,而:∞n=1nan(x1)n+1=x下∞n=1nanxn1,故其收敛半径为3,由:|x-1|

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